Question

在△ABC中，∠A=60°，b=1，S_△ABC=

3

．求
（1）

a+b+c

sinA+sinB+sinC

的值．
（2）△ABC的内切圆的半径长．

Answer 1

考点：正弦定理,三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：（1）在△ABC中，根据S_△ABC=

3

=

1

2

bc•sinA，求得 c=4；再由余弦定理求得a=

13

．再由正弦定理求得
2R=

a

sinA

 的值，可得

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=2R的值．
（2）设△ABC的内切圆的半径为r，根据S_△ABC=

3

=

1

2

（a+b+c）r，求得r的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，由于∠A=60°，b=1，S_△ABC=

3

=

1

2

bc•sinA=

c

2

•

3

2

，
解得 c=4．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=1+16-8×

1

2

=13，∴a=

13

．
再由正弦定理可得 2R=

a

sinA

=

13

3 2

=

2 39

3

，∴

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=2R=

2 39

3

．
（2）设△ABC的内切圆的半径为r，∵S_△ABC=

3

=

1

2

（a+b+c）r=

1

2

（

13

+5）r，
解得r=

2 3

13 +5

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．