Question

如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=

2

，A=

π

6

．D为AC延长线上一点，且CD=

3

+1．
（Ⅰ）求∠BCD的大小；
（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，
因为AB=2，A=

π

6

，BC=

2

，
由正弦定理可得

AB

sin∠ACB

=

BC

sinA

，
即

2

sin∠ACB

=

2

sin π 6

=

2

1 2

=2

2

，
所以sin∠ACB=

2

2

．
因为∠ACB为钝角，所以∠ACB=

3π

4

．
所以∠BCD=

π

4

．   …（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD²=CB²+DC²-2CB•DC•cos∠BCD，
即BD2=(

2

)2+(

3

+1)2-2•

2

•(

3

+1)•cos

π

4

，
整理得BD=2．
在△ABC中，由余弦定理可知BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，
即(

2

)2=22+AC2-2•2•AC•cos

π

6

，
整理得AC2-2

3

AC+2=0．解得AC=

3

±1．
因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以AC=

3

-1．
所以△ABC的面积S=

1

2

AC•AB•sinA=

1

2

×2×(

3

-1)×

1

2

=

3 -1

2

．…．（13分）

点评：本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用．