Question

已知实数a＜-

2

，则关于x的函数f（x）=（sinx+a）（cosx+a）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：函数f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²，令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]．可得sinxcosx=

t2-1

2

，f（x）=g（t）=

1

2

(t+a)2+

a2-1

2

．根据实数a＜-

2

与二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：函数f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²，
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]．
则1+2sinxcosx=t²，∴sinxcosx=

t2-1

2

．
∴f（x）=g（t）=

t2-1

2

+ta+a²=

1

2

(t+a)2+

a2-1

2

．
∵实数a＜-

2

，∴-a＞

2

．
∴函数g（t）在t∈[-

2

，

2

]单调递减，
∴当t=

2

时，g（t）取得最小值g(

2

)=

2

a+

1

2

+a²
故答案为：

2

a+

1

2

+a²．

点评：本题考查了三角函数变换、换元法、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力余角是哪里，属于难题．