Question

已知△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=

6

a．
（1）若P是AC边上的一点，当△PBD的面积最小时，求二面角P-BD-A的平面角的正切值；
（2）能否找到一个球，使A，B，C，D都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC之中点为O，连接AO，DO，由已知得AO⊥BC，AB⊥AC，AO⊥DO，从而AO⊥平面BCD，作PH⊥BC于H，HE⊥BD于E，连PE，则∠PEH是二面角P-BD-C的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的平面角的正切值．
（2）取BC中点O，则OA=OB=OC=OD，存在以O为球心，半径R=

2

a的球，由此能求出球的内接圆柱的表面积的最大值．

解答： 解：（1）取BC之中点为O，连接AO，DO，
∵AB=AC=AD=2a
则AO⊥BC，又AB⊥AC，则BC=2

2

a，AO=

2

a，
在△BCD中，∵CD=

6

a，
则DO=

2

a，且sin∠CBD=

3

2

，
在△OAD中，∵AO²+DO²=4a²=AD²，则AO⊥DO，
又BC∩DO=O，且BC，DO?平面BCD，则AO⊥平面BCD
作PH⊥BC于H，HE⊥BD于E，连PE，
PH⊥平面BCD，PH⊥HE，得PE⊥BD，
则∠PEH是二面角P-BD-C的平面角，
设PH=x=CH，∴BH=2

2

a-x，
∴EH=

3

2

(2

2

a-x)=

6

a-

3

2

x，
∴PE=

x2+( 6 a- 3 2 x)2

=

7 4 x2-3 2 ax+6a2

=

2

2

a•

7 4 (x- 6 2 7 a)2+ 24 7 a2

，
∵0＜x≤

2

a，∴x=

6 2

7

a时，S_△PBD最小，
此时PH=

6 2

7

a，EH=

4 6

7

a，则tan∠PEH=

PH

EH

=

3

2

，
过点O做OF⊥BD于F，连接AF，得AF⊥BD，
则∠AFO是二面角A-BD-C的平面角，
因O为BC之中点，且BD⊥CD，CD=

6

a，
则OF=

6

2

a，tan∠AFO=

AO

OF

=

2 3

3

，
设二面角P-BD-A的平面角为θ，则θ=∠AFO-∠PEH，
tanθ=tan(∠AFO-∠PEH)=

3

12

，即二面角P-BD-A的平面角的正切值为

3

12

．
（2）取BC中点O，
∵△ABC和△DBC是两个有公共斜边BC的直角三角形，
则OA=OB=OC=OD，
则存在以O为球心，半径R=

2

a的球，
设该球的内接圆柱的底面半径为x，高为y，
则有x2+

1

4

y2=2a2
令

x= 2 acosα y=2 2 asinα

(0＜α＜

π

2

)，

∴S表面积=2πxy+2πx2=4πa2(sin2α+ 1 2 cos2α+ 1 2 ) =4πa2[ 5 2 sin(2α+φ)+ 1 2 ]≤2(1+ 5 )πa2

所以该球的内接圆柱的表面积的最大值为2(1+

5

)πa2．

点评：本题考查二面角P-BD-A的平面角的正切值的求法，考查球的内接圆柱的表面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．