题目内容
如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，若侧棱长SA=| 3 |
A、
| ||
| B、9π | ||
| C、12π | ||
| D、16π |
考点：球的体积和表面积
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．
解答：
解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB
∵三棱锥S-ABC为正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直）
∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，
∴SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°
以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的对角线就是球的直径．
∴2R=
SA=3，
∴R=
，
∴V=
πR3=
故选：A
∵三棱锥S-ABC为正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直）
∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，
∴SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°
以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的对角线就是球的直径．
∴2R=
| 3 |
∴R=
| 3 |
| 2 |
∴V=
| 4 |
| 3 |
| 9π |
| 2 |
故选：A
点评：本题考查了三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力．三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=