Question

已知正三棱台的上下底面积分别是

3

与4

3

，它的侧棱长为

3

，求它的高与斜高．

Answer 1

考点：棱台的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：做出正三棱台，然后利用正三角形的面积公式求上下底面边长，作辅助线，在Rt△AA₁M中求高，在Rt△E₁EN中，求斜高．

解答： 解析　如上图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为O₁，O，连接A₁O₁，AO并延长分别交对边于E₁、E，则E₁E为斜高，O₁O为高．
过A₁作A₁M⊥AE于M，过E₁作E₁N⊥AE于N，则A₁O₁OM、O₁ONE₁都为矩形．
设上、下底面边长分别为a、b，则

3

4

a²=

3

，

3

4

b²=4

3

，∴a=2，b=4，∴AO=

4 3

3

，A₁O₁=

2 3

3

．
∴AM=AO-A₁O₁=

2 3

3

．
在Rt△AA₁M中，
A₁M=

A1A2-AM2

=

( 3 )2-( 2 3 3 )2

=

15

3

，
高O₁O=

15

3

．
同理EN=EO-E₁O₁=

3

6

×4-

3

6

×2=

3

3

．
在Rt△E₁EN中，
斜高E₁E=

E1N2+EN2

=

( 15 3 )2+( 3 3 )2

 =

2

．

点评：利用图形解题可直观显现空间点线面的位置关系，利于解题．