Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．
（1）求a，b的值；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．
①当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
②若cos∠AMB=-

65

65

，求△ABM的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由椭圆的离心率结合椭圆E上的点到点F距离的最小值为2列关于a，c的方程，求出a，c的值后结合隐含条件求得b的值；
（2）①设出N的坐标（8，t）及圆的一般式方程，把A，F，N的坐标代入圆的方程，求出半径，利用基本不等式求得半径的最小值及t的值，则圆的方程可求；
②联立直线和椭圆方程，求出M的坐标，由向量的夹角公式求出直线的斜率k，得到y的纵坐标为定值3，代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（1）由已知，

c

a

=

1

2

，且a-c=2，
解得a=4，c=2，
∴b²=a²-c²=12，
∴a=4，b=2

3

；
（2）①由（1），A（-4，0），F（2，0），设N（8，t）．
再设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将点A，F，N的坐标代入，得

16-4D+F=0 4+2D+F=0 64+t2+8D+Et+F=0

，解得

D=2 E=-t- 72 t F=-8

，
∴圆的方程为x2+y2+2x-(t+

72

t

)y-8=0，
即(x+1)2+[y-

1

2

(t+

72

t

)]2=9+

1

4

(t+

72

t

)2，
∵(t+

72

t

)2≥(2

72

)2，当且仅当t+

72

t

=±12

2

时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为x2+y2+2x±12

2

y-8=0．
②由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．
由

y=k(x+4) x2 16 + y2 12 =1

，得M(

12-16k2

3+4k2

，

24k

3+4k2

)，
∴

MA

=(

-24

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，

MB

=(

32k2

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，
∴cos∠AMB=

MA • MB

| MA |•| MB |

=

-8×24k

24 1+k2 • (32k)2+242

=-

65

65

，
化简，得16k⁴-40k²-9=0，
解得k2=

1

4

，或k2=

9

4

，即k=

1

2

，或k=

3

2

，
此时总有y_M=3．
∴△ABM的面积为

1

2

×8×3=12．

点评：本题考查了椭圆与圆的方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量在解析几何中的应用，考查了学生的计算能力，是压轴题．