Question

已知函数g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的极值点为x=1，函数h（x）=ax²+bx+4b-1．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；
（Ⅱ）当a=

1

2

时，函数t（x）=ln（1+x²）-h（x）+x+4-k（k∈R），试判断函数t（x）的零点个数；
（Ⅲ）如果函数f（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），那么就称f（x）为f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，已知函数f₁（x）=（a-

1

2

）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=

1

2

x²+2ax，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）=g（x）+h（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先根据极值点为1求出b的值，然后利用导数研究单调性，确定最值，比较g（x）与g（1）的大小关系；
（2）先确定极值点处函数值的符号，然后再确定零点的个数；
（3）根据“伴随函数”的定义，将问题转化为不等式恒成立问题来处理，然后再构造函数研究其最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）易知函数g（x）的定义域是（0，+∞），且g′(x)=

b 2

x

-b，
因为函数g(x)=

b

2

lnx-bx-3(b∈R)的极值点为x=1，
所以g′(1)=

b

2

-b=0，且b≠0，
所以b=1或b=0（舍去），
所以g（x）=lnx-x-3，g′(x)=

1-x

x

(x＞0)，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
所以x=1是函数g（x）的极大值，且最大值为g（1），
所以g（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞），g（x）≤g（1）．
（Ⅱ）当a=

1

2

时，t（x）=ln（1+x²）-h（x）+x+4-k=ln（1+x²）-

1

2

x2+1-k．
所以t′(x)=

2x

1+x2

-x，
令t′（x）=0，得x=-1或x=0或x=1，
当x＜-1时，t′（x）＞0，当-1＜x＜0时，t′（x）＜0，当0＜x＜1时，t′（x）＜0，当x＞1时，t′（x）＜0．
所以t(x)极大值=t(±1)=ln2+

1

2

-k，t(x)极小值=t(0)=1-k，
所以当k＞ln2+

1

2

时，函数t（x）没有零点；
当1＜k＜ln2+

1

2

时，函数t（x）有四个零点；
当k=ln2+

1

2

时，函数t（x）有两个零点；
当k=1时，函数t（x）有三个零点；
当k＜1时，函数t（x）有两个零点．
（Ⅲ）f（x）=g（x）+h（x）=a

x

2

+lnx，
在区间p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx上，函数p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx是p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx的“伴随函数”，
则p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx恒成立，令p（x）=f（x）-f₂（x）=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，
q（x）=f（x）-f₂（x）=-

1

2

x2+2ax-a2lnx，则p（x）＜0，q（x）＜0对于任意的x∈（1，+∞）恒成立．
因为p′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

[(2a-1)x-1](x-1)

x

（*）
①若a＞

1

2

，令p′（x）=0得x1=1，x2=

1

2a-1

，当x2＞x1=1，

1

2

＜a＜1时在（x₂，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）是增函数，并且在该区间上由p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；当x₂≤x₁，即a≥1时，在（1，+∞）上，p（x）∈（p（1），+∞），也不符合题意；
②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只需满足p（1）=-a-

1

2

≤0，所以a≥-

1

2

，所以-

1

2

≤a≤

1

2

．
因为q′(x)=-x+2a-

a2

x

=

-x2+2ax-a2

x

=

-(x-a)2

x

＜0，所以q（x）在（1，+∞）上是减函数．
要使q（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，则q（x）＜q(1)=-

1

2

+2a≤0，所以a≤

1

4

．
综合①②可知[-

1

2

，

1

4

]的取值范围是[-

1

2

，

1

4

]．

点评：本题综合考查了导数在研究函数的单调性、极值以及最值中的作用，属于压轴题，有一定难度．