Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜a_n的表达式；
（Ⅱ）证明你的猜想．

Answer 1

考点：数列递推式,数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）直接由已知求a₂，a₃，a₄的值，并猜a_n的表达式；
（Ⅱ）利用数学归纳法证明数列的通项公式为a_n=

1

2n-1

．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，求得a₂=

1

3

，a₃=

1

7

，a₄=

1

15

．
猜a_n=

1

2n-1

；
（Ⅱ）证明：（1）n=1时，a₁=1，

1

21-1

=1，等式成立，
（2）设n=k（k≥1）时，等式成立，即a_k=

1

2k-1

，
则ak+1=

ak

ak+2

=

1 2k-1

1 2k-1 +2

=

1

2k+1-1

，
因此n=k+1时等式成立．
由（1），（2）可知，?n∈N^*，有：a_n=

1

2n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，利用归纳法证题是注意归纳假设的应用，是中档题．