Question

已知函数f （x）=2sinx（cosx+sinx）-1，若α为三角形的内角，且f（

α

2

-

π

8

）=

2

3

，求f（α）的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换把函数f（x）化为一个角的三角函数，由f（

α

2

-

π

8

）=

2

3

，且α为三角形的内角，求出α的值，计算f（α）即可．

解答： 解：∵函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1
=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∵f（

α

2

-

π

8

）=

2

3

，
∴

2

sin[2（

α

2

-

π

8

）-

π

4

]=

2

sin[α-

π

2

]=

2

（-cosα）
=-

2

cosα=

2

3

，
∴cosα=-

1

3

；
∴sinα=

2 2

3

，
∴f（α）=2×

2 2

3

×（-

1

3

+

2 2

3

）-1=

7-4 2

9

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，考查了三角函数的求值问题，综合性较强，属于中档题．