Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=2的离心率互为倒数，且以抛物线y²=4x的焦点F为右焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）过右焦点F作斜率为-

2

2

的直线l交曲线C于M、N两点，且

OM

+

ON

+

OH

=0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）双曲线x²-y²=2的离心率为

2

，可得椭圆C的离心率e=

2

2

=

c

a

．由抛物线y²=4x的焦点F（1，0）为椭圆的右焦点，可得c=1．再利用b²=a²-c²即可得出．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），G（-x₀，-y₀）．直线l的方程为：y=-

2

2

(x-1)，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得线段MN的垂直平分线为：y-

2

4

=

2

(x-

1

2

)，利用

OM

+

ON

+

OH

=0，可得H，G．进而得到线段GH的垂直平分线．联立解得即可．

解答： 解：（I）∵双曲线x²-y²=2的离心率为

2

，
∴椭圆C的离心率e=

2

2

=

c

a

．
∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0）为椭圆的右焦点，∴c=1．
解得a=

2

，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），G（-x₀，-y₀）．
直线l的方程为：y=-

2

2

(x-1)，
联立

y=- 2 2 (x-1) x2+2y2=2

，化为2x²-2x-1=0，
可得x₁+x₂=1，x₁x₂=-

1

2

．
∴y₁+y₂=-

2

2

(x1+x2-2)=

2

2

．
可得线段MN的垂直平分线为：y-

2

4

=

2

(x-

1

2

)，
化为4

2

x-4y-

2

=0．
∵

OM

+

ON

+

OH

=0，
∴x₁+x₂+x₀=0，y₁+y₂+y₀=0，
解得x₀=-1，y₀=-

2

2

，即H(-1，-

2

2

)．
∴G(1，

2

2

)．
线段GH垂直平分线的方程为y=-

2

x．
联立

y=- 2 x 4 2 x-4y- 2 =0

，解得(

1

8

，-

2

8

)，
∴r=

(1- 1 8 )2+( 2 2 + 2 8 )2

=

3 11

8

．
因此M、G、N、H四点是共圆，圆心坐标为(

1

8

，-

2

8

)，半径r=

3 11

8

．

点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．