Question

证明：存在实数α，β，使等式cos（α+β）=cosα+cosβ． （非举例法求证）

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：证明题,三角函数的求值

分析：分别运用二倍角的余弦公式和和差化简公式，化简函数式，再由二次方程的判别式即可判断．

解答： 证明：由cos（α+β）=cosα+cosβ，
得2cos²

α+β

2

-1=2cos

α+β

2

cos

α-β

2

，
则有2cos²

α+β

2

-2cos

α+β

2

cos

α-β

2

-1=0，
令t=cos

α+β

2

，则有2t²-2cos

α-β

2

t-1=0，
则有判别式为4cos²

α-β

2

+8＞0恒成立，
则关于t=cos

α+β

2

的二次方程有实数解，
则存在实数α，β，使等式cos（α+β）=cosα+cosβ．

点评：本题考查三角函数的化简，考查二倍角的余弦公式和和差化积公式的运用，考查二次方程的实根的判断，属于中档题．