Question

17．如图，在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，则△ABC的面积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，先根据余弦定理可得9x²=4+a²-$\frac{4}{3}$a，①，再根据余弦定理可得3x²-a²=-6，②，求出a的值，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，
在△ABC中由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC，
即9x²=4+a²-$\frac{4}{3}$a，①
在△ABD和△DBC中由余弦定理可得
cos∠ADB=$\frac{B{D}^{2}+A{D}^{2}-A{B}^{2}}{2BD•AD}$=$\frac{\frac{16}{3}+4{x}^{2}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}x}$，
cos∠BDC=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{\frac{16}{3}+{x}^{2}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}x}$，
∵∠ADC=π-∠BDC，
∴cos∠ADC=cos（π-∠BDC）=-cos∠BDC，
∴$\frac{\frac{16}{3}+4{x}^{2}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}x}$=-$\frac{\frac{16}{3}+{x}^{2}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}x}$，
化简得3x²-a²=-6，②，
由①②可得a=3，x=1，BC=3，
∵cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．