题目内容
9．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，0≤x≤$\frac{1}{2}$≤y≤1，则|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\frac{1}{4}$．分析 单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，不妨设$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）+y$（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|2=（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2，再利用柯西不等式求解．
解答 
解：单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，不妨设$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（如图），
x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）+y$（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|2=（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2，
由柯西不等式得=[（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2]•[（$\sqrt{3}$）2+32]≥[$\sqrt{3}$（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$）+3（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）]2=（3$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$）2
∵$\frac{1}{2}$≤y≤1，∴y=$\frac{1}{2}$时，（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）2最小为$\frac{1}{16}$
则|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．
点评 本题考查了向量的模的取值范围的求法，考查了不等式的性质，转化思想，属于中档题．
| $\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）2 | $\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）2 | $\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$） | $\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$） |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
（1）根据散点图判断，$y=a+bx，y=c+d\sqrt{x}$哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（2）的结果回答下列问题；
①当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{μ}$．
如图，在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，则△ABC的面积为2$\sqrt{2}$．| 特征量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| t | 101 | 124 | 119 | 106 | 122 | 118 | 115 |
| y | 74 | 83 | 87 | 75 | 85 | 87 | 83 |
（2）利用（1）中的回归方程，分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，并估计该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩（精确到个位）．
附：回归方程$\widehaty=\widehatbt+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$．${\sum_{i=1}^7{（{{t_i}-\overline t}）}^2}=432$．
某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20位市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 25 | 30 | 40 | 45 |
附：$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）•（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}$；$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x．
| A． | 59.5 | B． | 52.5 | C． | 56 | D． | 63.5 |
| A． | {4} | B． | {5} | C． | [4，5] | D． | {4，5} |