Question

6．设函数f（x）=e^x+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若a=2，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知f（t）=g（t），令h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，等价于ϕ（x）≥0恒成立，求出其导函数，可求出φ（x）的单调性，进而可求得a的取值范围．

解答 解：（1）因为a=2，所以|PQ|=e^t+sint-2t．令h（x）=e^x+sinx-2x，
即h'（x）=e^x+cosx-2，因为h''（x）=e^x-sinx，
当x＞0时，e^x＞1，-1≤sinx≤1，所以h''（x）=e^x-sinx＞0，
所以h'（x）=e^x+cosx-2在（0，+∞）上递增，所以h'（x）=e^x+cosx-2＞h'（0）=0，
∴x∈[0，+∞）时，h（x）的最小值为h（0）=1，所以|PQ|_min=1．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，
则ϕ'（x）=e^x-e^-x+2cosx-2a，S（x）=ϕ''（x）=e^x-e^-x-2sinx，
因为S'（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立，所以函数S（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴S（x）≥S（0）=0当x∈[0，+∞）时恒成立；
故函数ϕ'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以ϕ'（x）≥ϕ'（0）=4-2a在x∈[0，+∞）时恒成立．
当a≤2时，ϕ'（x）≥0，ϕ（x）在[0，+∞）单调递增，即ϕ（x）≥ϕ（0）=0．
故a≤2时F（x）≥F（-x）恒成立．
当a＞2时，因为ϕ'（x）在[0，+∞）单调递增，
所以总存在x₀∈（0，+∞），使ϕ（x）在区间[0，x₀）上ϕ'（x）＜0，即ϕ（x）在区间[0，x₀）上单调递减，而ϕ（0）=0，
所以当x∈[0，x₀）时，ϕ（x）＜0，这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾，
所以a＞2不符合题意，故符合条件的a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题