Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{ln（{2x}）}}{x}$，关于x的不等式f²（x）+af（x）＞0只有两个整数解，则实数a的取值范围为（-ln2，-$\frac{ln6}{3}$]．

Answer 1

分析 判断函数f（x）的单调性和取值情况，利用一元二次不等式的解法，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$．
当f′（x）＞0得1-ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，即0＜2x＜e，即0＜x＜$\frac{e}{2}$，
由f′（x）＜0得1-ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，即2x＞e，即x＞$\frac{e}{2}$，
即当x=$\frac{e}{2}$时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（$\frac{e}{2}$）=$\frac{2}{e}$，
即当0＜x＜$\frac{e}{2}$时，f（x）＜$\frac{2}{e}$有一个整数解1，
当x＞$\frac{e}{2}$时，0＜f（x）＜$\frac{2}{e}$有无数个整数解，
①若a=0，则f²（x）+af（x）＞0得f²（x）＞0，此时有无数个整数解，不满足条件．
②若a＞0，则由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜-a，当f（x）＞0时，
不等式由无数个整数解，不满足条件．
③当a＜0时，由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞-a或f（x）＜0，当f（x）＜0时，没有整数解，
∵f（1）=ln2，f（2）=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴当f（x）≥ln2时，函数有两个整数点1，2，当f（x）≥$\frac{ln6}{3}$时，函数有3个整数点1，2，3
∴要使f（x）＞-a有两个整数解，必有$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，即-ln2＜a≤-$\frac{1}{3}$ln6，
故答案为（-ln2，-$\frac{ln6}{3}$]

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的取值范围，利用数形结合结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．