Question

7．已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l₂的极坐标方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求证：l₁⊥l₂
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），P为直线l₁，l₂的交点，求|OP|•|AP|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）；消去参数t可得：直线l₁的普通方程．又直线l₂的极坐标方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．利用互化公式可得直线l₂的直角坐标方程，根据两直线垂直的条件即可证明：l₁⊥l₂．
（Ⅱ）当ρ=2，$θ=\frac{π}{3}$时，满足方程ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．可得点A（2，$\frac{π}{3}$），在直线ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）上．设点P到直线OA的距离为d，由l₁⊥l₂可知，d的最大值为$\frac{|OA|}{2}$=1．即可得出|OP|•|AP|=d•|OA|=2d最大值．

解答 解：（Ⅰ）证明：直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）；
消去参数t可得：直线l₁的普通方程为：xsinα-ycosα=0．
又直线l₂的极坐标方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．
即直线l₂的直角坐标方程为：xcosα+ysinα-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=0．
因为sinαcosα+（-cosα）sinα=0，
根据两直线垂直的条件可知，l₁⊥l₂．
（Ⅱ）当ρ=2，$θ=\frac{π}{3}$时，ρcos（θ-α）=2cos$（\frac{π}{3}-α）$=2sin（α+$\frac{π}{6}$）．
所以点A（2，$\frac{π}{3}$），在直线ρcos（θ-α）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）上．
设点P到直线OA的距离为d，由l₁⊥l₂可知，d的最大值为$\frac{|OA|}{2}$=1．
于是|OP|•|AP|=d•|OA|=2d≤2
所以|OP|•|AP|的最大值为2．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化、互相垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．