Question

5．（Ⅰ）将圆x²+y²=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．写出C的参数方程；
（Ⅱ）极坐标系下，求直线ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$与圆ρ=2的公共点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设（x₁，y₁）为圆上的点，在已知变换下变为C上点（x，y），依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y=2{y}_{1}}\end{array}\right.$，由${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}$=1，代入即可得出．利用平方关系可得参数方程．
（Ⅱ）将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x+y=2，x²+y²=4，由于圆心到直线的距离d与半径比较，即可得出直线与圆相交的公共点个数．

解答 解：（Ⅰ）设（x₁，y₁）为圆上的点，在已知变换下变为C上点（x，y），
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y=2{y}_{1}}\end{array}\right.$，由${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}$=1，得x²+$（\frac{y}{2}）^{2}$=1，
即曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅱ）将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x+y=2，x²+y²=4，
由于圆心到直线的距离d=$\sqrt{2}$＜2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个．

点评 本题考查了坐标变换、三角函数平方关系、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．