Question

10．三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，a，b，c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理可得出四面体的体积为（　　）

• A． V=$\frac{1}{3}$abc （a，b，c为底边边长）
• B． V=$\frac{1}{3}$Sh（S为地面面积，h为四面体的高）
• C． V=$\frac{1}{3}$（ab+bc+ac）h（a，b，c为底边边长，h为四面体的高）
• D． V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r（其中S₁，S₂，S₃，S₄分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径）

Answer 1

分析 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答 解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，
根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r，
故选：D．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．