题目内容
1．数列{an}中，a1=1，an=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），则a1009=（ ）| A． | $\frac{1}{1009}$ | B． | $\frac{1}{2015}$ | C． | $\frac{1}{2016}$ | D． | $\frac{1}{2017}$ |
分析 an=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
解答 解：∵an=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{1009}}$=1+2×（1009-1）=2017，
则a1009=$\frac{1}{2017}$．
故选：D．
点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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