Question

20．若不等式|2x-3|＜4与不等式x²+px+q＜0的解集相同．
（Ⅰ）求实数p，q值；
（Ⅱ）若实数a，b，c∈R₊，满足a+b+c=2p-4q，求证：$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意不等式x²+px+q＜0的解集为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），利用韦达定理，从而可以求得p与q的值．
（Ⅱ）a+b+c=2p-4q=1，由柯西不等式得（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤（a+b+c）（1+1+1），代入已知a+b+c=1即得；

解答 解：（Ⅰ）∵不等式-4＜2x-3＜4的解集为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴不等式x²+px+q＜0的解集是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2}$=-p，（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{7}{2}$=q
∴p=-3，q=-$\frac{7}{4}$；
（Ⅱ）a+b+c=2p-4q=1，
由柯西不等式得（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤（a+b+c）（1+1+1）
代入已知a+b+c=1，
∴（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤3，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$，
当且仅当=b=c=1，取等号．

点评 本题是一道考查逆向思维的题目，考查了一般形式的柯西不等式．证明不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等号成立的条件．