Question

13．已知函数$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1，a∈R$．
（1）若曲线y=f（x）在P（1，f（1））处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对任意x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$对x∈（0，2e]恒成立，即a＞x（1-lnx）对x∈（0，2e]恒成立，设g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）直线y=-x+1的斜率为-1，
函数y=f（x）的导数为$f'（x）=-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{x}$…（2分）
所以f'（1）=-a+1=-1，
所以a=2…..（3分）
因为y=f（x）的定义域为（0，+∞），
又$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^2}$…（4分）
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，
综上，函数f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）…（6分）
（2）因为a＞0，且对任意x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，
即$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$对x∈（0，2e]恒成立，
即a＞x（1-lnx）对x∈（0，2e]恒成立                   …..（7分）
设g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
所以g'（x）=1-lnx-1=lnx，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（1，2e]时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，
所以当x=1时，函数g（x）在x∈（0，2e]上取得最大值  …（10分）
所以g（x）≤g（1）=1-ln1=1，
所以实数a的取值范围（1，+∞）…..（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．