Question

3．已知三棱锥A-BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{33}}{6}$
• D． $\sqrt{11}$

Answer 1

分析 取AC中点O，连结DO，EO，则EO∥AB，从而∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值．

解答 解：取AC中点O，连结DO，EO，
∵三棱锥A-BCD的各棱长都相等，E为BC中点，
∴EO∥AB，∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），
设三棱锥A-BCD的各棱长为2，
则DE=DO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，OE=1，
∴cos∠DEO=$\frac{D{E}^{2}+O{E}^{2}-D{O}^{2}}{2×DE×OE}$=$\frac{3+1-3}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．