Question

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若BD与平面PBC的所成角为30°，求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得BD²=3，从而AB²=AD²+BD²，进而AD⊥BD，由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，由此能证明AD⊥平面PBD，从而AD⊥PB．
（2）过D作DE⊥PB，垂足为E，推导出BC⊥平面PBD，从而DE⊥平面PBC，由此能求出三棱锥P-BCD的体积．

解答 证明：（1）在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB=3，
∴AB²=AD²+BD²，∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．
解：（2）过D作DE⊥PB，垂足为E，
∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴由（1）得AD⊥平面PBD，∴BC⊥平面PBD，
∴平面PBC⊥平面PBD，∴DE⊥平面PBC，
∴BD与平面PBC所成角为∠DBE=30°，
由（1）得BD=$\sqrt{3}$，DP=BD•tan∠DBE=1，
∴三棱锥P-BCD的体积：
${V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•DP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×BC×DP$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．