Question

11．在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是$\frac{2}{3}$，每个人答题正确与否互不影响．
（1）求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；
（2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．

Answer 1

分析 （1）设学生甲得分X的所有取值为-15，0，15，30，分别求出相应的概率，由此能求出甲得分X的分布列为和EX．
（2）记事件A：“甲得分不少于15分”，记事件B：“乙得分不少于15分”．甲、乙两人中至少有一人得分大于等于15分的概率为$P=1-P（\bar A•\bar B）=1-（1-P（A））（1-P（B））$．由此能求出结果．

解答 解：（1）设学生甲得分X的所有取值为-15，0，15，30，
$P（X=-15）=\frac{C_6^0C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$，
$P（X=0）=\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$，
$P（X=15）=\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，
$P（X=30）=\frac{C_6^3C_4^0}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$．
∴甲得分X的分布列为

X	-15	0	15	30
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=-15×$\frac{1}{30}+0×\frac{3}{10}+15×\frac{1}{2}$+$30×\frac{1}{6}$=12．
（2）记事件A：“甲得分不少于15分”，
记事件B：“乙得分不少于15分”．
$P（A）=P（X=15）+P（X=30）=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$，
$P（B）=C_3^2×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+C_3^3×{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{20}{27}$．
所以甲、乙两人中至少有一人得分大于等于15分的概率为：$P=1-P（\bar A•\bar B）=1-（1-P（A））（1-P（B））=1-\frac{7}{27}×\frac{1}{3}=\frac{74}{81}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．