Question

1．如图，在四棱锥E-ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．
（1）证明：AB⊥平面BCE；
（2）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出EC⊥CD，从而CE⊥面ABCD，再由CE⊥AB，AB⊥BC，由此能证明AB⊥面BCE．
（2）过A作AH⊥DC，交DC于H，则AH⊥平面DCE，连结EH，则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，由此能证明直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是直角梯形，
∵AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．
∴CD=$\sqrt{{1}^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CE²+DC²=DE²，∴EC⊥CD，
∵面EDC⊥面ABCD，面EDC∩面ABCD=DC，
∴CE⊥面ABCD，
∴CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE=C，
∴AB⊥面BCE．
解：（2）过A作AH⊥DC，交DC于H，
则AH⊥平面DCE，连结EH，
则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角，
∵$\frac{1}{2}×DC×AH$=$\frac{AD+BC}{2}×AB-\frac{1}{2}×AB×BC$，
∴AH=$\frac{\frac{1}{2}（3+1）×1-\frac{1}{2}×1×1}{\frac{1}{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
AE=$\sqrt{A{B}^{2}+（C{E}^{2}+B{C}^{2}）}$=$\sqrt{6}$，
∴sin∠AEH=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．