Question

16．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}+e，x≤0\\ \frac{e^x}{x}，x＞0\end{array}$，则方程f（f（x））=$\frac{e^3}{3}$的根的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，作出f（x）的函数图象，得出f（x）=$\frac{{e}^{3}}{3}$的根的分布情况，再结合图象得出结论．

解答 解：当x＞0，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=e，
作出f（x）的函数图象如图所示：

令f（x）=t，则f（t）=$\frac{{e}^{3}}{3}$，
由图象可知方程f（t）=$\frac{{e}^{3}}{3}$有两解t=t₁，或t=3，且0＜t₁＜1．
∴f（x）=t₁只有1解，f（x）=3有两解，
∴f（f（x））=$\frac{{e}^{3}}{3}$有3解．
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的关系，属于中档题．