Question

19．已知P（x，y）为不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≤0}\\{x-m≥0}\end{array}}\right.$表示的平面区域M内任意一点，若目标函数z=5x+3y的最大值等于平面区域M的面积，则m=-2．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定最优解，再根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=5x+3y得y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{Z}{3}$，
平移直线y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{Z}{3}$，
由图象知当直线y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{Z}{3}$，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，即A（2，2），
此时z=5×2+3×2=16，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x=a}\end{array}\right.$．解得x=a，y=4-a，即B（a，4-a），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x=a}\end{array}\right.$，解得x=y=a，即C（a，a），
∴BC=4-a-a=4-2a，△ABC的高为2-a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（2-a）（4-2a）=（2-a）²=16，
解得a=-2，a=6（舍去），
故答案为：-2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．考查学生的运算和推理能力．