Question

18．已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$．则使得sin²B+sin²C=msinBsinC成立的实数m的取值范围是[2，4]．

Answer 1

分析 先由三角形的面积公式和余弦定理以及两角和的正弦公式可得b²+c²=4bcsin（A+$\frac{π}{6}$），再根据正弦定理可得b²+c²=mbc，即可得到m=4sin（A+$\frac{π}{6}$），由正弦函数的性质和基本不等式即可求出范围

解答 解：由三角形的面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²，即a²=2$\sqrt{3}$bcsinA
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴2$\sqrt{3}$bcsinA=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=2bc（$\sqrt{3}$sinA+cosA）=4bcsin（A+$\frac{π}{6}$）
∵sin²B+sin²C=msinBsinC，
由正弦定理可得b²+c²=mbc，
∴4bcsin（A+$\frac{π}{6}$）=mbc，
∴m=4sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1
∴-2＜m≤4，
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
∴mbc≥2bc，
∴m≥2，
综上所述m的取值范围为[2，4]，
故答案为：[2，4]

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题