Question

已知向量

a

=（2cosx，

3

sinx），

b

=（cosx，-2cosx）设函数f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若tanα=

2

，求f（α）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）求出f（x）的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合余弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）先表示出f（α），然后分子分母同时除以coa²α，并将tanα的值代入即可．

解答： 解：f（x）=

a

•

b

=2cos²x-2

3

sinxcosx=1+cos2x-

3

sin2x=1+2cos（2x+

π

3

）…（3分）
（1）当2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ时，f（x）单调递增，解得：kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

   k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]k∈Z       …（7分）
（2）f（α）=2cos²α-2

3

sinαcosα=

2cos2α-2 3 sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2-2 3 tanα

1+tan2α

=

2-2 6

3

                  …（12分）

点评：本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的值，考查学生计算能力，是中档题．