Question

一个三棱柱的三视图及直观图如图所示，E，F，G分别是A₁B，B₁C₁，AA₁的中点，AA₁⊥底面ABC．
（1）求证：B₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）求证：EF∥平面ACC₁A₁；
（3）在BB₁上是否存在一点M，使得GM+MC的长最短．若存在，求出这个最短值，并指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用直三棱柱的性质，只要证明B₁C垂直与平面A₁BC₁的两条相交直线；
（2）连接A₁C，AC₁交于点O，连接OE，利用中位线的性质得到四边形OEFG为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；
（3）在BB₁上存在一点M，使得GM+MC的长最短．通过勾股定理求得．

解答： （1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，∵AC⊥BC，
∴AC⊥平面BCC 1B 1，…（2分）
∵AC∥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面BCC 1B 1，
∴A₁C₁⊥B₁C…（3分）
又B₁C⊥BC₁，A₁C₁∩BC₁=C₁，
∴B₁C⊥平面A₁BC₁…（5分）
（2）连接A₁C，AC₁交于点O，连接OE…（6分）
由题意可得，O为A₁C中点，
因为E为A₁B中点，∴OE∥

1

2

CB并且OE=

1

2

CB
因为F为C₁B₁的中点中点，∴C1F∥

1

2

CB，C1F=

1

2

CB
∴OE∥C₁F，OE=C₁F
∴四边形OEFG为平行四边形…（8分）
∴FE∥OC₁…（9分）
∵FE?平面ACC₁A₁，OC₁?平面ACC₁A₁，
∴FE∥平面ACC₁A₁…（10分）
（3）在BB₁上存在一点M，使得GM+MC的长最短，此时沿CC₁展开，时G，M，C在一条直线上．
最短值为GC=

(a+ 2 a)2+( a 2 )2

=

13+8 2

2

a
此时BM=

2 -1

2

a…（14分）

点评：本题考查了直三棱柱的性质、线面平行的判定定理以及线段最短问题，属于中档题．