Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，点E是PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
（3）若PA=a，求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设AC交BD于M，连结ME，由已知得ME∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．
（2）由已知得BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．
（3）由V_C-BDE=V_E-BCD，利用等积法能求出三棱锥C-BDE的体积．

解答： （1）证明：设AC交BD于M，连结ME．因为ABCD为正方形，
所以M为AC中点，又因为E为PA的中点，所以ME为△PAC的中位线，
所以ME∥PC，…（3分）
又因为ME?平面BDE，PC?平面BDE，
所以PC∥平面BDE．…（5分）
（2）证明：因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．…（8分）
因为BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．…（10分）
（3）解：V_C-BDE=V_E-BCD=

1

3

×S△BCD×EA
=

1

3

×

a

2

×

1

2

a2
=

a3

12

．…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．