Question

已知函数f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（m，n∈R，且mn＞0），给出下列命题，①函数f（x）的图象关于点（b，0）成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{-4，-2，0，3}其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：判断函数y=

ax

x2+c

(a≠0)为奇函数结合函数图象平移说明①正确；
求出函数y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域，再由f（x）与函数y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域相同说明②正确；
把方程g（x）=0变形后得到0不可能在方程的解集中说明③错误．

解答： 解：①，∵函数y=

ax

x2+c

(a≠0)为定义域内的奇函数，∴其图象关于（0，0）中心对称，
又f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

是把y=

ax

x2+c

(a≠0)向右平移1个单位得到的，则函数f（x）的图象关于点（b，0）成中心对称，命题①正确；
②，∵c＞0，函数y=

ax

x2+c

(a≠0)的定义域为R，y=

ax

x2+c

(a≠0)=

a

x+ c x

，
当x＞0时，x+

c

x

≥2

c

，

1

x+ c x

∈(0，

c

2c

]，若a＞0，

a

x+ c x

∈（0，

a c

2c

]；若a＜0，

a

x+ c x

∈[

a c

2c

，0）．
当x＜0时，x+

c

x

=-[(-x)+

c

-x

]≤-2

c

，

1

x+ c x

∈[-

c

2c

，0)，
若a＞0，

a

x+ c x

∈[-

a c

2c

，0）；若a＜0，

a

x+ c x

∈（0，-

a c

2c

]．
而f（x）与函数y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域相同，
∴存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意实数x恒成立，命题②正确；
③，方程g（x）=0，即m[f（x）]²-n=0，也就是[f(x)]2=

n

m

，
∵mn＞0，∴

n

m

＞0，则函数h（x）=[f（x）]²的图象与y=

n

m

无交点，
∴0不可能在方程g（x）=0的解集中，命题③错误．
∴正确的命题是①②．
故选：A．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，考查了函数图象的平移，是中档题．