Question

如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影
在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：

分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

解答： 解：①因为AC⊥β，且EF?β，所以AC⊥EF．
又AB⊥α，且EF?α，所以EF⊥AB．
因为AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD?平面ACBD，所以BD⊥EF．
所以①可以成为增加的条件．
②若AC∥EF，则AC∥平面α，
所以BD∥AC，所以BD∥EF．
所以②不可以成为增加的条件．
AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，
所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF与CD在β内的射影垂直，
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成为增加的条件．
故选：C．

点评：本题考查能成为增加条件的命题个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．