Question

已知函数f（x）=（x³+2x²+3x+t）e^-x，t∈R．
（1）若函数y=f（x）在区间[-1，2]上为减函数，求t的取值范围．
（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[-5，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求整数m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导数，将问题转化为f′（x）＜0在区间[-1，2]恒成立，令g（x）=x³+5x²+7x+t+3，只需g（x）＜0在区间[-1，2]恒成立，通过求导得出g（x）在区间[-1，2]的最大值为g（2）=45+t＜0即可，解出即可；
（2）问题转化为不等式0≤xe^x-x³-2x²-3x在x∈[-5，m]上恒成立，得不等式组

x≥0 ex≥x2+2x+3

或

x≤0 ex≤x2+2x+3

，令m（x）=e^x，n（x）=x²+2x+3，画出函数的图象，取m的整数值代入即可求出．

解答： 解：（1）∵f′（x）=e^-x（x³+5x²+7x+t+3），
若函数y=f（x）在区间[-1，2]上为减函数，
只需f′（x）＜0在区间[-1，2]恒成立，
令g（x）=x³+5x²+7x+t+3，
∴只需g（x）＜0在区间[-1，2]恒成立，
又g′（x）=3x²+10x+7=（3x+7）（x+1），
在[-1，2]上时，g′（x）＞0，
∴g（x）在区间[-1，2]递增，
∴g（x）在区间[-1，2]的最大值为g（2）=45+t＜0即可，
∴t＜-45；
（2）不等式f（x）≤x，即（x³+2x²+3x+t）e^-x≤x，
即t≤xe^x-x³-2x²-3x，
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[-5，m]，
不等式t≤xe^x-x³-2x²-3x恒成立，
即不等式0≤xe^x-x³-2x²-3x在x∈[-5，m]上恒成立，
∴只需

x≥0 ex≥x2+2x+3

或

x≤0 ex≤x2+2x+3

，
令m（x）=e^x，n（x）=x²+2x+3，
画出m（x），n（x）的图象，如图示：
，
显然m的最大值大于0，
m=1时，m（1）=e＜n（1）=6，
m=2时，m（2）=e²＜9＜n（2）=11，
m=3时，m（3）=e³＞2.7³=19.86＞n（3）=18，
∴满足条件的整数m的最大值是2．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查导数的应用，考查转化思想，数形结合思想，是一道综合题．