Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在x∈[

1

e

，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过a=1，求出函数的导数，令导数大于0，小于0，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）通过0＜a≤

1

e

，

1

e

＜a＜e，e≤a判断导函数的单调性，然后求f（x）在x∈[

1

e

，e]上的最小值．

解答： （本题满分（12分），第（1）问（5分），第（2）问7分）
解：（1）f′(x)=

x-1

x2

…（1分）
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，则f（x）在 （0，1）上单调递减，
x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0，则f（x）在[1，+∞）上单调递增；…（5分）
（2）f′(x)=

x-a

x2

…（6分）
①当0＜a≤

1

e

时，f'（x）≥0，f（x）在x∈[

1

e

，e]单调递增，f(x)min=f(

1

e

)=ae-2，…（8分）
②当

1

e

＜a＜e时，f（x）在[

1

e

，a]上递减，（a，e]上单调递增，f（x）_min=f（a）=lna，…（10分）
③当e≤a时，f'（x）≤0，f（x）在x∈[

1

e

，e]单调递减，f(x)min=f(e)=

a

e

．…（12分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调区间的求法，利用导数求解函数的最小值的方法，考查转化思想，分类讨论思想的应用．