Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，（cosα+sinα）a_n+1=sinα•S_n+2cosα-sinα，（n∈N^*），α∈（0，π），若对任意n∈N^*，a_n+1＞a_n＞0恒成立，则α的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再利用对任意n∈N^*，a_n+1＞a_n＞0恒成立，三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：当n≥2时，（cosα+sinα）a_n+1=sinα•S_n+2cosα-sinα，
（cosα+sinα）a_n=sinα•S_n-1+2cosα-sinα，
∴（cosα+sinα）a_n+1-（cosα+sinα）a_n=sinα•a_n．
∴（cosα+sinα）a_n+1=（cosα+2sinα）a_n．
又对任意n∈N^*，a_n+1＞a_n＞0恒成立，
∴

an+1

an

=

cosα+2sinα

cosα+sinα

＞1．
∴

sinα

cosα+sinα

＞0．
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0．
∴cosα+sinα＞0，
∴α∈(0，

3π

4

)．
故答案为：(0，

3π

4

)．

点评：本题考查了利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、数列的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．