题目内容

已知二阶矩阵A属于特征值-1的 一个特征向量为 
-1
 
3
，属于特征值7的 一个特征向量为 
1
 
1

①求矩阵A；
②若方程满足 AX=
7
14
，求X．
考点：特征值、特征向量的应用
专题：矩阵和变换
分析：本题①利用矩阵的特征值和特征向量的意义，得到本应的方程组，解方程组得本题结论；②对于AX=
7
14
，可以利用逆矩阵进行研究，得到相应的结果，得到本题结论．
解答： （Ⅰ）解：①设A=
ab
  
cd
，
则
ab
  
cd
.
-1
 
3
=-
-1
 
3
=
1
 
-3
，
ab
  
cd
1
 
1
=7
1
 
1
=
7
7
，
∴
-a+3b=1
-c+3d=-3
a+b=7
c+d=7
，
∴
a=5
b=2
c=6
d=1
，
∴A=
52
  
61
．
②由AX=
7
14
，得：
X=A-1
7
14
，
∵A-1=
-
1
7
2
7
  
6
7
-
5
7
，
∴X=
-
1
7
2
7
  
6
7
-
5
7
7
 
14
=
3
 
-4
．
点评：本题考查了矩阵的特征值、特征向量的意义以及逆矩阵的应用，本题难度不大，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知|2x-3|≤1的解集为[m，n]
①求m+n的值；
②若|x-a|＜m，求证：|x|＜|a|+1．
（2）已知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到直线l：x=
a2
c
的距离的最小值为
 
．
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且A=60°，5sinB=3sinC
（1）若△ABC的面积为
15
3
4
，求a，b，c的长；
（2）在（1）的条件下，若把三角形的每条边都增加相同的长度x（x＞0），则△ABC是什么三角形？请说明理由．
函数f（x）=（1+x-
x2
2
+
x3
3
）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为
 
．
设a，b为实数，已知不等式组
x+y≥0
x+y≤6
2x-y≥0
y≥ax-b
表示的平面区域是一个菱形，则ab=
 
．
正三棱锥D-ABC中，底面三角形ABC的面积为4
3
，A1、B1、C1是棱DA、DB、DC的中点，E、F在线段A1B1、A1C1上，且EF∥B1C1．则△AEF和四边形EFCB在底面ABC上的射影的面积之和为（　　）
A、
2
3
3
B、
4
3
3
C、
8
3
3
D、与EF位置有关，总面积不确定
已知A1、A2分别为椭圆C：
x2
9
+
y2
5
=1的左右顶点，点P为椭圆C上任意一点，则
PA1
•
PA2
的最大值是
 
．
已知二次函数y=f（x）的图象顶点为A（-1，2），且图象经过原点，
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）求函数y=f（2x）的值域．

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