Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D是PA的中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=2

3

，取AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，BD交z轴于点E．
（1）求B、D、P三点的坐标；
（2）求BD与地面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中的点的坐标

专题：空间角,坐标系和参数方程

分析：（1）首先利用建立的空间直角坐标系，即三角形的边角关系，二面角求出相关的线段长，进一步求出空间坐标．
（2）利用（1）的结论首先求出线面的夹角，进一步利用相关的运算求出结果．

解答： 解：建立空间直角坐标系O-xyz，
由于：△ABC是正三角形，AB=2

3

则：AO=OC=

3

，OB=3，
又∠PCA=90°，D是PA的中点，PC=2，
则：BD=1
二面角P-AC-B为120°，过D做DE⊥平面ABC，过P点做PF⊥平面ABC
得到DE=

3

2

，OE=

1

2

，PF=

3

，CF=1
所以求得B（-

1

2

，0，

3

2

），B（3，0，0），P（-1，

3

，

3

）
（2）利用（1）的结论：∠DBE是BD与地面ABC所成角．
利用余弦定理解得：BD=

13

2

，BE=

7

2

则：cos∠DBE=

BE

BD

=

7 13

13

所以：BD与地面ABC所成角的余弦值为：

7 13

13

点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，线面的夹角，二面角的应用．属于基础题型．