Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．
（1）求证：l∥EF；
（2）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）作EF∥CD交PD于F，则利用线面平行的性质证明AB∥l，再利用平行公理得出AB∥EF即可得出结论；
（2）由面面垂直可证EF⊥平面PAD，则V_P-AEF=V_E-PAF=$\frac{1}{3}{S}_{△PAF}•EF$．

解答 证明：（1）过F作EF∥CD交PD于F，连接EF，AF，
∵E是PC的中点，∴F是PD的中点，
又CD∥AB，
∴EF∥AB，
∵AB∥CD，CD?平面PAC，AB?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，又AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，
∴AB∥l，
∴l∥EF．
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，又CD∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∵底面ABCD为矩形，△PAD为正三角形，AD=2，AB=4，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=2，S_△PAF=$\frac{1}{2}$S_△PAD=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_P-AEF=V_E-PAF=$\frac{1}{3}{S}_{△PAF}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的性质与判断，棱锥的体积计算，属于中档题．