Question

19．在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=$\frac{π}{3}$，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{NB}$|=|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（　　）

• A． 16
• B． 12
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{MN}$|，再根据向量的数量积公式计算即可

解答 解：由|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{NB}$|=|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|，可得|$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{MN}$|，
取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，
又$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AM}}^{2}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）²=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{1}{4}$×16+2×4×$\frac{1}{2}$）=6，
故选：D．

点评 本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题