Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点A（-4，0）的直线l与椭圆C相切于点B，与y轴交于点D（0，2），又椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆Q与直线l相切于点B，且经过点F₂，求圆Q的方程，并判断圆Q与圆x²+y²=a²的位置关系．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的方程，代入椭圆方程消元，令△=0得出a，b的关系，结合e=$\frac{1}{2}$求出a，b；
（2）求出B点坐标，得出BF₂的中垂线方程和直线BQ的方程，联立方程组求出Q点坐标，计算圆的半径，得出圆Q的方程，比较圆心距与两圆半径的大小关系得出两圆的位置关系．

解答 解：（1）直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+2，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消元得（$\frac{1}{4}{a}^{2}+{b}^{2}$）x²+2a²x+4a²-a²b²=0，
∵直线l与椭圆相切，∴△=4a⁴-4（$\frac{1}{4}{a}^{2}+{b}^{2}$）（4a²-a²b²）=0，
即a²+4b²-16=0．①
∵e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴b²=$\frac{3}{4}{a}^{2}$，②
由①②可得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）可得4x²+8x+4=0，解得x=-1，把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x+2得y=$\frac{3}{2}$，
∴B（-1，$\frac{3}{2}$），又F₂（1，0），∴BF₂的中点坐标为（0，$\frac{3}{4}$），K${\;}_{B{F}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直线BQ的方程为y-$\frac{3}{2}$=-2（x+1），即y=-2x-$\frac{1}{2}$．
BF₂的中垂线方程为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{3}{4}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{4}{3}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{8}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴Q的坐标为（-$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{4}$），圆Q的半径为|QF₂|=$\sqrt{（-\frac{3}{8}-1）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{8}$，
∴圆Q的方程为（x+$\frac{3}{8}$）²+（y-$\frac{1}{4}$）²=$\frac{125}{64}$．
∵|OQ|=$\frac{\sqrt{31}}{8}$，∴2-$\frac{5\sqrt{5}}{8}$＜OQ＜2+$\frac{5\sqrt{5}}{8}$，
∴圆Q与圆x²+y²=a²相交．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．