Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}$x．
（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）△ABC的角A，B，C所对边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，f（A）=$\frac{3}{2}$，AD=$\sqrt{2}$BD=2，求cosC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值，再利用两角和的余弦公式，求得cosC=-cos（A+B）的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
令 $2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈z$，
所以递增区间是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈z）$．
（Ⅱ）$f（A）=\frac{3}{2}⇒sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，得到$2A-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}⇒A=kπ+\frac{π}{3}，k∈z$，
由$0＜A＜\frac{π}{2}$，得到$A=\frac{π}{3}$，所以角$∠BAD=\frac{π}{6}$，
由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sinB}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$B=\frac{π}{4}$，
∴$cosC=-cos（A+B）=sin\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}-cos\frac{π}{3}cos\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定理、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．