Question

已知函数f（x）=ex+

1

ex

（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≤0都有f（x）≥ax+1，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，进而可求出函数的最小值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1=e^-x+（e-a）x-1，即g（x）≥g（0）=0成立，分类讨论并利用导数判断函数的单调性，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=-e^-x+e，…（1分）
令f'（x）＞0得x＞-1；令f'（x）＜0得x＜-1．
因此，函数f （x）在（-∞，-1]上单调减函数，在[-1，+∞）上是单调增函数，…（5分）
当x=-1时，f（x）的有极小值也是最小值，f（x）_min=0…（6分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1=e^-x+（e-a）x-1，
则g'（x）=-e^-x+（e-a），g（0）=0．…（8分）
（1）当e-a≤0，即a≥e时，g'（x）=-e^-x+（e-a）＜0，g（x）在（-∞，0]是减函数，
因此当x≤0时，都有g（x）≥g（0）=0，即f（x）-ax-1≥0，f（x）≥ax+1；…（10分）
（2）当a＜e时，令g'（x）＜0得x＜-ln（e-a）；令g'（x）＞0得x＞-ln（e-a），
因此函数g（x）在（-∞，-ln（e-a）]上是减函数，在[-ln（e-a），+∞）上是增函数．
由于对所有x≤0都有f（x）≥ax+1，即g（x）≥g（0）=0成立，
因此-ln（e-a）≥0，e-a≤1，a≥e-1，又a＜e，
所以e-1≤a≤e．…（13分）
综上所述，a的取值范围是[e-1，+∞）．…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力，属于难题．