Question

双曲线与椭圆

x2

4

+y²=1有相同的焦点F₁、F₂，P在双曲线的右支上，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，则双曲线的方程是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程可得双曲线的c=

3

，设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1．又PF₂⊥F₁F₂，则令x=c，求得y=

b2

a

，即PF₂=

b2

a

，再由∠PF₁F₂=30°，则PF₂=tan30°F₁F₂，即可得到a，b的方程，再由a²+b²=3，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．

解答： 解：椭圆

x2

4

+y²=1的焦点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
则双曲线的c=

3

，设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1．
又PF₂⊥F₁F₂，则令x=c，求得y=

b2

a

，即PF₂=

b2

a

，
再由∠PF₁F₂=30°，则PF₂=tan30°F₁F₂，
即有

b2

a

=

3

3

•2c=2，且a²+b²=3，
即可解得，a=1，b=

2

．
则双曲线方程为：x²-

y2

2

=1．
故答案为：x²-

y2

2

=1．

点评：本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，特别是双曲线方程的运用，属于基础题．