Question

8．若$n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{（sinx+cosx）dx}$，则${（y+\frac{2}{y}）^n}$的展开式中的常数项为160．

Answer 1

分析 $n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{（sinx+cosx）dx}$，=3$（sinx-cosx）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=6．利用$（y+\frac{2}{y}）^{6}$的展开式中的通项公式即可得出．

解答 解：$n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{（sinx+cosx）dx}$=3$（sinx-cosx）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=6．
则$（y+\frac{2}{y}）^{6}$的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$y^6-r$（\frac{2}{y}）^{r}$=2^r${∁}_{6}^{r}$y^6-2r，
令6-2r=0，解得r=3．
∴常数项=${2}^{3}{∁}_{6}^{3}$=160．
故答案为：160．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．