Question

20．已知函数f（x）=$\frac{2}{x+2}$，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与$\overrightarrow{i}$的夹角，则使得$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$＜t恒成立的实数t的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意知$\frac{π}{2}$-θ_n是直线OA_n的倾斜角，化$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}{cos（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}$=tan（$\frac{π}{2}$-θ_n）=$\frac{f（n）}{n}$，再求出$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$的解析式g（n），利用g（n）＜t恒成立求出t的最小值．

解答 解：根据题意得，$\frac{π}{2}$-θ_n是直线OA_n的倾斜角，
∴$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}{cos（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}$
=tan（$\frac{π}{2}$-θ_n）
=$\frac{f（n）}{n}$
=$\frac{2}{n（n+2）}$
=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$
=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$；
要使$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$＜t恒成立，
只须使实数t的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线的倾斜角与斜率以及不等式恒成立问题，是综合题．