Question

3．已知单位向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，满足$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 设单位向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为θ，根据$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）$，得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=0，代入数据求出cosθ的值．

解答 解：设单位向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，
即1²+2×1×1×cosθ=0，
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角的余弦值为-$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的运算法则以及数量积和夹角的计算问题，是基础题．