Question

18．关于x的方程kx²-2lnx-k=0有两个不等实根，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得x=1为方程的一个根，则方程的另一个根为x＞0且x≠1，若k=1，推出方程只有一解x=1；讨论x＞1，0＜x＜1，分离参数k，求出右边函数的范围和单调性，即可得到所求k的范围．

解答 解：关于x的方程kx²-2lnx-k=0，
显然x=1，k-2ln1-k=0成立；
则方程的另一个根为x＞0且x≠1，
若k=1，则方程为x²-2lnx-1=0，
由y=x²-2lnx-1，导数为2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
可得x=1为极小值点也为最小值点，
则x²-2lnx-1=0只有一解x=1．
当x＞1时，方程可化为k=$\frac{2lnx}{{x}^{2}-1}$，
由f（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}-1}$，x＞1，
f′（x）=$\frac{2x-\frac{2}{x}-4xlnx}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
令g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-4xlnx，x＞1，
可得g′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-4（1+lnx）=$\frac{2}{{x}^{2}}$-2-4lnx，
显然g′（x）在x＞1递减，即有g′（x）＜g′（1）=0，
则g（x）在x＞1递减，即有g（x）＜g（1）=0，
即有f（x）在（1，+∞）递减；
同样当0＜x＜1时，f（x）递减，
且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，
则当k＞0且k≠1时，原方程有两个不等实根．
故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查方程的根的情况，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查函数的单调性，以及运算能力，属于中档题．