Question

12．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，4S_n=a_na_n+1+1（n∈N*）．
（1）求a₁₅的值；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）若a_m-12，a_m，a_m+k+18成等差数列，其中m∈N*，k∈N*，求m的值．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，4S_n-1=a_n-1a_n+1，两式相减可得a_na_n+1-a_n-1a_n=4a_n，又a_n＞0，a_n+1-a_n-1=4，即可求a₁₅的值；
（2）：由（1）可得a₃-a₁=a₄-a₂=4，a₂=3，a₄=5，即可证明数列{a_n}是等差数列；
（3）若a_m-12，a_m，a_m+k+18成等差数列，（2m-1）²=（2m-13）（2m+2k+17），2k+17=11+$\frac{144}{2m-13}$≥19，即可求m的值．

解答 （1）解：∵4S_n=a_na_n+1+1，
∴当n≥2时，4S_n-1=a_n-1a_n+1，两式相减可得a_na_n+1-a_n-1a_n=4a_n，又a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=4，
∴数列{a_2k-1}（k∈N^*）为等差数列，公差为4，
∴a₁₅=1+4×（8-1）=29；
（2）证明：由（1）可得a₃-a₁=a₄-a₂=4，a₂=3，a₄=5
∴a₂-a₁=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
（3）解：a_m=2m-1，a_m+k=2（m+k）-1，
由题意，（2m-1）²=（2m-13）（2m+2k+17），
∴2k+17=11+$\frac{144}{2m-13}$≥19，
∴2m-13＞0，2m-13能被13整除，
∴2m-13为奇数1，3，9，
∴m=7，8，11．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查等差数列的证明，属于中档题．